lunes, 14 de marzo de 2016

Inecuaciones cuadráticas.



Introducción

Las  siguientes  expresiones  x2 + 2x < 15   y   x2  ≥  2x + 3  representan inecuaciones  cuadráticas.    Una  inecuación  cuadrática  es   de   la  forma ax2 + bx + c < 0 (ó >0, ≥ 0, ≤ 0), donde a, b y c son números reales y a ≠ 0. La  inecuación cuadrática está en su forma estándar cuando el número cero está a un lado de la inecuación.  De manera que, la forma estándar de las dos inecuaciones    anteriormente    mencionadas     sería:    x2 + 2x – 15 < 0     y    x2 – 2x – 3 ≥  0. 
  1. Escribe la inecuación en forma estándar.
  2. Resuelve la “ecuación asociada” que surge de la forma estándar
  3. Usa las raíces (soluciones) del paso #2 como puntos críticos. 
  4. Prueba cada uno de los intervalos obtenidos .
  5. Escribe la solución en notación de intervalo y representa la solución en la recta 



Ejercicios:

     
a.)   $x^2-2x -35 < 0 $
Para la expresión $x^2-2x -35 $ se tiene: 
$ \triangle $$ = $$4 - 4(1)(-35)$
$ \triangle $$ = $$ 4 + 140$
$ \triangle $$ = $$ 144 $
$.^.. \, x^2-2x -35 $ 
$ x_1 = {2+\sqrt{144}\over 2}$
$ \Longrightarrow x_1 = {14 \over 2}$ 
$ \Longrightarrow x_1 = 7 $ 
$ x_2 = {2 - \sqrt{144}\over 2}$ 
$ \Longrightarrow x_2 = {-10 \over\; \; 2}$ 
$ \Longrightarrow x_2 = -5 $ 
así: 
$x^2-2x -35 = (x-7)(x+5) $ 
$.^.. \,\, x^2-2x -35 < 0 \Longleftrightarrow (x-7)(x+5) <0 $ 

b.)  $2x^2 -x -6 \geq 0 $
Para la expresión $2x^2 -x -6 $ se tiene: 
$ \triangle $$ = $$ 1 - 4(2)(-6)$
$ \triangle $$ = $$ 1 + 48$
$ \triangle $$ = $$ 49 $
$.^.. \,2x^2 -x -6$ 
$ x_1 = {1+\sqrt{49}\over 4}$ 
$ \Longrightarrow x_1 = {8 \over 4}$ 
$ \Longrightarrow x_1 = 2 $ 
$ x_2 = {1 - \sqrt{49}\over 4}$ 
$ \Longrightarrow x_2 = {-6 \over \; \;4}$ 
$ \Longrightarrow x_2 = {-3\over \;\; 2} $ 
así:

$ 2x^2 -x -6 = 2(x-2)(x+{3\over 2}) $ 
 

c.) $-3x^2+ x +2 > 0 $
Para la expresión $-3x^2+ x +2 $ se tiene: 
$ \triangle $$ = $$ 1 - 4(-3)(2)$
$ \triangle $$ = $$ 1 + 24$
$ \triangle $$ = $$ 25 $
$.^.. \,-3x^2+ x +2 $ 
$ x_1 = {-1+\sqrt{25}\over -6}$ 
$ \Longrightarrow x_1 = {4 \over -6}$ 
$ \Longrightarrow x_1 = {-2 \over \; \;3} $ 
$ x_2 = {-1 - \sqrt{25}\over -6}$ 
$ \Longrightarrow x_2 = {-6 \over -6}$ 
$ \Longrightarrow x_2 = 1 $ 
así: 
$ -3x^2+ x +2 = -3(x+{2\over 3})(x-1) $ 
$ .^.. \, -3x^2+ x +2 > 0 \Longleftrightarrow -3(x+{2 \over 3})(x-1) > 0 $ 
$x^2-4x \leq 0 $


e.) $x^2-4x \leq 0 $
 Factorizando $x^2-4x $ por factor común se tiene:$x^2-4x \leq 0 \Longleftrightarrow x(x-4)\leq 0$ 
Resolviendo esta inecuación:


Por lo que el conjunto solución de $x^2-4x \leq 0 $ es $[\,0,4\, ];$ o sea : S = 

Imágenes:









VIDEOS:










LINKS:

https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/MATEGENERAL/t3-inecuaciones/inecuaciones-julioetall/node6.html

http://www.ecured.cu/Inecuaciones_cuadr%C3%A1ticas

http://es.wikihow.com/resolver-inecuaciones-cuadr%C3%A1ticas
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